forum math ~ THANH DIEN IT

Trang chủ - Diễn đàn Toán học

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Kì thi giải toán VMEO của Diễn đàn Toán học

ĐỀ THI THÁNG 12 (Hạn nhận bài: 23h59 ngày 09/02/2016)
Thảo luận về đề thi tháng 10 và 11
Thể lệ
Danh sách BTC
Đăng kí tham gia dự thi
Hỏi đáp

Chuyên mục

Phát hiện gian lận trong kì thi VMEO IV

Hôm nay, 00:37

Gửi bởi Nesbit trong Thông báo chung

Các bạn thân mến,

Sau một thời gian nghi ngờ, BQT đã theo dõi điều tra, và bây giờ có thể khẳng định rằng thí sinh chiemtienvuong đã gian lận trong kì thi VMEO IV đang diễn ra. BQT không muốn công bố chi tiết, nhưng có thể tóm tắt như sau:

Những bài post của chiemtienvuong trùng địa chỉ IP với một thành viên trong BTC, đó là thaivinhdam.
Nhiều lời giải của chiemtienvuong giống một cách bất thường những lời giải được ra ra thảo luận trong box ẩn của BTC (kể cả những hướng đi sai).

BQT không khẳng định thaivinhdam tiếp tay cho chiemtienvuong gian lận, nhưng việc gian lận của chiemtienvuong cũng như mối liên hệ giữa chiemtienvuong và thaivinhdam là chắc chắn. Do vậy, BQT quyết định loại thí sinh chiemtienvuong ra khỏi kì thi, đồng thời rút thaivinhdam ra khỏi danh sách BTC.

Thật không ngờ tiêu cực lại xảy ra trong một cuộc thi mang tính chất thử sức như VMEO. BQT cảm thấy thực sự thất vọng. Hi vọng rằng điều tương tự sẽ không xảy ra nữa.

P/s: tên thật của thành viên không được ghi ra ở thông báo này vì lí do dễ hiểu, mong các bạn rút kinh nghiệm.

228 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Element hero Neos )

Đề thi VMEO IV - Tháng 12

19-12-2015

Gửi bởi perfectstrong trong Thông báo chung

Đề Thi VMEO IV Tháng 12

CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

Bài 1.1:

Cho $S$ là một tập các số thực dương, khác rỗng thoả mãn điều kiện: Với mọi $a,b,c\in S$ (không nhất thiết phân biệt) thì $a^3+b^3+c^3-3abc$ là số hữu tỉ.

Chứng minh rằng với mọi $a,b\in S$ thì $\dfrac{a-b}{a+b}$ hữu tỉ.

Bài 1.2:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $P$ là một điểm trên phân giác góc $BAC$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA, AB$ tại $E,F$. Gọi $EF$ cắt $(O)$ tại $M, N$. Đường thẳng vuông góc với $PM, PN$ lần lượt tại $M,N$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $S,T$ khác $M,N$.

Chứng minh rằng $ST\parallel BC$.

Bài 1.3:

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c,d$ tạo thành một cấp số cộng (theo đúng thứ tự đó) với $d-c+1$ là số nguyên tố và $$a+b^2+c^3=d^2b$$

Chú thích: Một cấp số cộng là một dãy số sao cho bất kỳ hai phần tử liên tiếp đều hơn kém nhau một hằng số.

Bài 1.4:

Sáu nhà toán học ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi nhà toán học mang trong mình một con số và thực hiện thay đổi các con số này theo quy tắc sau: Ở mỗi lần, hai nhà toán học ngồi cạnh nhau được chọn ra và yêu cầu cộng hai số của họ, mỗi số thêm $1$ đơn vị.

Hỏi rằng nếu theo quy tắc này thì các nhà toán học có thể làm cho sáu con số của họ đều bằng nhau được không? Nếu các con số ban đầu (các số được sắp theo đúng thứ tự như thế trên bàn tròn) là:

a) $6,5,4,3,2,1$.

b) $7,5,3,2,1,4$.

Hết đề cấp THCS

CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bài 2.1:

Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\] luôn đúng với mọi số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$.

Bài 2.2:

Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:

a) $n$ có ít nhất $k$ ước nguyên tố phân biệt.

b) Tất cả các ước nguyên tố khác $3$ của $n$ đều có dạng $4t+1$, với $t$ là số nguyên dương nào đó.

c) $n\mid 2^{\sigma (n)}-1$

Ở đây ta kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng các ước nguyên dương của $n$.

Bài 2.3:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$ sao cho $AP$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt đối xứng với $P$ qua $CA,AB$. $K$ là đối xứng với $A$ qua $EF$. $L$ là hình chiếu của $K$ trên đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$.

Chứng minh rằng $PA=PL$.

Bài 2.4:

Ta gọi tribi của một số nguyên dương $k$ (ký hiệu là $T(k)$) là số tất cả các cặp $11$ trong biểu diễn nhị phân của $k$. Ví dụ $$T(1)=T(2)=0; T(3)=1; T(4)=T(5)=0; T(6)=1; T(7)=2; \, v.v...$$

Hãy tính \[S_n=\sum_{k=1}^{2^n} T(k)\]

Hết đề cấp THPT

Thời hạn gửi bài: Từ 22h00 ngày 20-12-2015 đến 23h59 ngày 09-02-2016.

Thí sinh có thể gửi bài dự thi qua nick vmeovmf trên diễn đàn hoặc qua email vmeovmf@gmail.com.

Xin lỗi mọi người vì sự chậm trễ của đề tháng 12.

1106 Lượt xem · 0 Trả lời

Tổng kết 5 năm hoạt động của Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học và thành lập Viện nghiên cứu cao cấp về Toán

11-12-2015

Gửi bởi Nesbit trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học được Thủ tướng Chính phủ ký quyết định phê duyệt vào ngày 17/8/2010 và Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (Viện NCCCT) được Thủ tướng Chính phủ ký quyết định thành lập vào ngày 23/12/2010 đến nay đã tròn 5 năm. Để nhìn lại kết quả hoạt động và các thành tựu trong 5 năm qua của Chương trình cũng như Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán, trên cơ sở đó lập kế hoạch hoạt động phù hợp trong 5 năm tiếp theo, Bộ Giáo dục và Đào tạo và Viện NCCCT tổ chức Hội nghị tổng kết 5 năm hoạt động của Chương trình TĐQG phát triển toán học và thành lập Viện NCCCT vào ngày Chủ nhật 20/12/2015, từ 8h30 đến 16h00 tại Thư viện Tạ Quang Bửu, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

Lễ Tổng kết sẽ diễn ra từ 8h30 đến 10h (tại Hội trường tầng 10 Thư viện Tạ Quang Bửu) với sự tham dự của các vị lãnh đạo Nhà nước và các Bộ như Bộ Giáo dục và Đào tạo, Bộ Khoa học và Công nghệ, Bộ Tài chính... cùng các nhà quản lý, nhà giáo, những người làm toán đã từng tham gia xây dựng Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển toán học, đối tác của Viện NCCCT và Chương trình, người nghiên cứu toán, các giáo viên THPT chuyên, đại diện sinh viên toán một số trường đại học và học sinh THPT chuyên toán khu vực Hà Nội và vùng phụ cận.

Chương trình có chuỗi bài giảng đại chúng do các Giáo sư Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Hữu Việt Hưng trình bày.

Bên cạnh đó, Ngày hội Toán học “Toán học trong vỏ hạt dẻ” dành cho mọi đối tượng người lớn, trẻ em đã quan tâm và chưa quan tâm đến toán học sẽ được tiến hành song song bao gồm các mảng hoạt động chính sau:

Tọa đàm về đào tạo chuyên toán với các khách mời là GS. Trần Văn Nhung, GS. Nguyễn Hữu Việt Hưng, PGS. Phan Thị Hà Dương, Ông Nguyễn Khắc Minh, PGS. Nguyễn Vũ Lương và TS. Trần Nam Dũng.
Chiếu phim, video về chặng đường 5 năm của Chương trình phát triển toán học và VIện NCCCT, về Toán học, Khoa học và một số nhà toán học nổi tiếng.
Triển lãm các mô hình toán học khổng lồ.
Các trò chơi với toán: làm toán, đố vui toán học, chế tác các mô hình toán học mini,...của các đơn vị phối hợp tổ chức: Học Viện Sáng Tạo S3, POMath, Hexagon, Sputnik Education, quầy sách Toán và Khoa học của Quảng Trường Sách.

Trân trọng kính mời các quý vị đại biểu, những người yêu toán, các nhà giáo, nhà quản lý quan tâm đến sự phát triển toán học Việt Nam cũng như giáo dục toán học cho thế hệ trẻ, học sinh, sinh viên, phụ huynh và các giáo sư, nhà nghiên cứu toán học tham dự Chương trình và Ngày hội Toán học.

1169 Lượt xem · 5 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Nesbit )

Giải Nobel kinh tế 1989: Lý thuyết xác suất trong kinh tế lượng, phân tích về cấu trúc kinh tế mô phỏng

08-12-2015

Gửi bởi namcpnh trong Toán ứng dụng

Ngày 11 tháng 10 năm 1989, Viện khoa học hoàng gia Thụy Điển quyết định trao giải khoa học kinh tế tưởng nhớ Alfred Nobel cho giáo sư Trygve Haavelmo, Oslo, Nauy vì đã làm sáng tỏ nền móng lý thuyết xác suất trong toán kinh tế và phân tích của ông về cấu trúc kinh tế mô phỏng.

Giải khoa học kinh tế năm nay được trao cho giáo sư Trygve Haavelmo, vì những đóng góp nền tảng của ông cho toán kinh tế. Trong suốt những năm 1930, người ta đã nỗ lực để kiểm tra các giả thuyết kinh tế trong thực nghiệm. Kết quả có được từ những cố gắng này đã thu hút sự chú ý tới hai vấn đề cơ bản liên quan đến khả năng kiểm tra các giả thuyết kinh tế. Mối quan hệ kinh tế thứ nhất đề cập đến sự thống nhất rộng rãi giữa các cá nhân và các doanh nghiệp. Lý thuyết về những mối quan hệ như thế không bao giờ được dự kiến phù hợp hoàn toàn với dữ liệu sẵn có, thậm chí thiếu các sai số thì bài toán khó đặt ra là phải xác định những gì cần được xem xét thích đáng hơn. Thứ hai, các nhà kinh tế rất khó có thể hay không bao giờ có thể tiến hành những thí nghiệm kiểm soát được như các nhà khoa học tự nhiên. Những quan sát hiện thời về kết quả thị trường, vân vân là kết quả của vô số những hành vi và các mối quan hệ khác nhau có tác động qua lại lẫn nhau. Điều này làm nảy sinh những vấn đề phụ thuộc lẫn nhau, chẳng hạn như khó khăn trong việc sử dụng các dữ liệu quan sát được để xác định, ước lượng và kiểm tra những mối quan hệ cơ sở một cách rõ ràng.

Trong luận văn của ông từ năm 1941 và một số những nghiên cứu sau đó, giáo sư Trygve Haavelmo đã có thể chứng minh một cách thuyết phục rằng cả hai vấn đề căn bản đó có thể giải quyết được nếu các lý thuyết kinh tế được trình bày dưới dạng thống kê. Những phương pháp được sử dụng trong môn thống kê toán có thể được ứng dụng để đưa ra kết luận về những mối quan hệ cơ sở từ những mẫu ngẫu của quan sát thực nghiệm. Haavelmo đã cho thấy có sử dụng những phương pháp này để đánh giá và kiểm tra các giả thuyết kinh tế và sử dụng chúng để dự báo xu hướng kinh tế. Ông cũng cho rằng sự hiểu lầm trong các mối quan hệ đơn lẻ do phụ thuộc lẫn nhau không thể tránh đuợc trừ khi tất cả các quan hệ trong mô hình lý luận xác định được đồng thời.

Luận án tiến sĩ của giáo sư Haavelmo có ảnh hưởng đột phá và mau lẹ đối với sự phát triển của toán kinh tế. Chương trình nghiên cứu xác suất của ông đã giành được nhiều chú ý của một số nhà kinh tế học nổi bật- trong số họ có người đạt giải Nobel sau này như như Koopmans và Klein. Nó đã giúp cho phương pháp luận logic phát triển nhanh chóng, nhất là trong những năm 1940. Sự ra đời của các phương pháp toán kinh tế hiện đại do đó đã được thiết lập.

Cuộc cách mạng lý thuyết xác suất trong toán kinh tế

Nghiên cứu toán kinh tế đã được thực hiện từ đầu thế kỉ này. Lúc đầu, các nhà kinh tế Mỹ như Moore và Schultz đã tiếp tục xác định bằng toán kinh tế cung và cầu trên các thị trường riêng lẻ. Trong những năm 1930, Tinbenger và người thầy của Haavelmo, Ragnar Frisch lần đầu tiên tìm cách áp dụng những phương pháp tương ứng để kiểm tra những mối quan hệ kinh tế vĩ mô tĩnh khác nhau. Những ước lượng này đã hướng đến một số vấn đề mà sau đó Haavelmo phân tích trong luận án của ông.

Trước luận án của Haavelmo, các nhà nghiên cứu thiếu một hệ thống tư duy chung để trình bày, phân tích và giải quyết các vấn đề toán kinh tế. Đồng thời, rất ít phương pháp toán kinh tế dựa trên lý thuyết xác suất và do đó không thể sử dụng phương pháp thống kê để đưa ra kết luận từ dữ liệu. Ngoài ra kết quả tính toán còn có một số dao động ngẫu nhiên, chúng thường đưa đến những sai số trong các biến. Phương pháp thống kê đơn giản – chủ yếu là phân tích hồi qui- được sử dụng nhiều nhất, cũng không có một lý thuyết xác suất rõ ràng nào. Thời đó, nhiều nhà kinh tế nổi bật kể cả Keynes cũng không dám sử dụng rộng rãi lý thuyết xác suất trong các nghiên cứu thực nghiệm do họ cho rằng chu trình kinh tế không có tính thuận nghịch. Rất nhiều nhà toán kinh tế hàng đầu ngày nay như Frish cũng vẫn hoài nghi về việc sử dụng phương pháp ứng dụng thống kê cho các dữ liệu kinh tế.

Trong luận văn của mình, giáo sư Haavelmo đã bác lại những phản đối này và chỉ ra rằng để có thể kiểm tra các giả thuyết kinh tế, việc trình bày lý thuyết xác suất không những là điều tiên quyết mà còn vô cùng hợp lý. Các nhà kinh tế đã phân tích kết quả của hàng triệu những quyết định kinh tế của các cá nhân và các doanh nghiệp. Theo giáo sư Haavelmo, là vô lý khi cho rằng các nhà kinh tế có thể giải thích đầy đủ hay dự đoán những quyết định kinh tế cá thể dựa trên những giả thuyết được đơn giản hóa cần thiết. Thực tế các quyết định kinh tế chịu ảnh hưởng bởi cá tính cá thể và vô số những điều kiện tạm thời luôn thay đổi theo thời gian. Do đó, những giải thích của các nhà kinh tế luôn phải có một số hạng ngẫu nhiên tổng kết những kiểu nhiễu loạn khác nhau. Nói chung nếu các giả thuyết kinh tế không đề cập đến những quyết định cá thể mà lại bàn đến những những mối quan hệ có các hiệu ứng lâu dài của các quyết định đó và rất nhiều chủ thể tạo quyết định thì thường có rất nhiều cơ hội để tạo ra các giả thuyết khá đơn giản về khả năng phân chia những mối quan hệ tập thể này.

Giáo sư cũng chứng tỏ rằng Haavelmo bằng cách trình bày lý thuyết dưới dạng thuật ngữ xác suất phương pháp đưa ra kết luận từ các dữ liệu thống kê có thể được ứng dụng để ước tính và kiểm tra các giả thuyết kinh tế cũng như sử dụng chúng để đưa ra các dự báo. Phần lớn những vấn đề ông bàn đến và phân tích đều liên quan đến những tương quan phụ thuộc trong các quan hệ kinh tế.

Những vấn đề phụ thuộc lẫn nhau

Trong đời sống kinh tế, mỗi quyết định đơn lẻ có thể được coi là ảnh hưởng đến những quyết định kinh tế khác thông qua một chuỗi những mối quan hệ thị trường. Mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau về kinh tế này tạo ra những vấn đề mới trong nghiên cứu thực nghiệm vì một kết quả thị trường quan sát được là kết quả của vô số những quyết định trước đó hay đồng thời và các mối quan hệ về hành vi. Do đó, không bao giờ có thể quan sát được một mối liên quan ràng buộc cơ sở sau các quyết định kinh tế vì nó không những riêng biệt mà còn bị ràng buộc đồng thời bởi hàng loạt những mối quan hệ và các hoàn cảnh khác trong nền kinh tế. Như giáo sư Haavelmo đã cho thấy, sự phụ thuộc lẫn nhau gây khó khăn cho việc xác định, nhận dạng và ước lượng những mối quan hệ kinh tế.

Khó khăn trong việc xác định các mô hình kinh tế mô phỏng, là việc lựa chọn trong số những mô hình hay hệ thống các mối quan hệ có thể giải thích kết quả thị trường được quan sát. Khi những mối quan hệ trong mô hình phụ thuộc lẫn nhau, thì có thể dùng một hệ phương trình mẫu để có được nguồn gốc của hàng loạt những hệ phương trình khác có cùng kết quả quan sát được.

51uLw7E+KxL._SL500_AA300_.jpg

Giáo sư Haavelmo nhấn mạnh tầm quan trọng của việc lựa chọn một mẫu quan hệ mà mỗi quan hệ đó càng độc lập càng tốt có nghĩa là mối quan hệ không chịu tác động bởi sự thay đổi của các bộ phận khác trong hệ thống. Chẳng hạn như, để xác định hiệu ứng của sự giảm xuống trong thu nhập của hộ gia đình do những thay đổi trong chính sách tài khóa, đối với tiêu dùng tư, thì rõ ràng việc ước tính xu hướng tiêu dùng không nên chịu sự ràng buộc bởi chính sách tài khóa trước. Việc lựa chọn những mối quan hệ độc lập trong các mô hình mô phỏng trước hết là một vấn đề về hiểu biết và trực giác liên quan đến cơ chế cơ bản của nền kinh tế. Tuy nhiên, giáo sư Haavelmo cũng bàn về sự cần thiết của những thử nghiệm thống kê và không lâu trước đó, các nhà khoa học đã phát triển thành công một phương pháp nhờ đó tính độc lập của các mối quan hệ trong mô hình có thể được kiểm nghiệm thống kê.

Thực tế nhiều kiểu mẫu mô hình mô phỏng khác nhau có thể giải thích những dữ liệu quan sát được cũng làm xuất hiện một vấn đề về nhận dạng. Chẳng hạn, nếu một giả thuyết định giải thích những mối quan hệ được quan sát giữa mức giá và lượng hàng bán trên một thị trường, thì các mối quan hệ đó phải đủ rõ ràng để có thể nhận biết được như các mối quan hệ cung và cầu, với một số kiểu phân bổ nhất định. Giáo sư Haavelmo là người đầu tiên đã đưa ra một công thức toán học rõ ràng chặt chẽ và đưa ra giải đáp cho bài toán định dạng. Sự phát triển sau này về các tiêu chí định dạng cũng dựa trên công thức của ông.

Sự phụ thuộc lẫn nhau cũng tạo những vấn đề mà giáo sư Haavelmo gọi là những vấn đề đồng thời trong việc ước lượng các mô hình có các mối quan hệ cấu trúc khác nhau. Vì những mối quan hệ kết hợp giới hạn khả năng dao động trong các biến đầu vào, những ước tính biệt lập về các mối quan hệ đơn lẻ có thể gây ra nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng một khuôn khổ lý thuyết xác suất, Haavelmo đã trình bày và đưa ra một phương pháp đo độ thiên lệch này để ước tính về những mối quan hệ đơn lẻ trong một hệ thống phụ thuộc lẫn nhau. Ông cũng chỉ ra rằng vấn đề này có thể tránh được bằng cách sử dụng một phương pháp ước tính đồng thời các mô hình phụ thuộc lẫn nhau. Phân tích của giáo sư Haavelmo về những vấn đề đồng thời đã có ảnh hưởng quyết định đến các công trình nghiên cứu với các mô hình toán kinh tế sau này.

Từ toán kinh tế cho tới lý thuyết kinh tế

Ngay khi thiết lập nên xác suất toán kinh tế, giáo sư Haavelmo đã có nghiên cứu lớn tiếp theo nhằm chuyển thể một số bộ phận của lý thuyết kinh tế với mục đích là phương pháp toán kinh tế mới có thể ứng dụng được. Theo giáo sư Haavelmo, điều tiên quyết để đạt được mục đích này không chỉ là những giả thuyết bổ sung về phân bổ xác suất mà nhiều khi còn phải trình bày lý luận tĩnh. Cụ thể có hai lĩnh vực: lý thuyết đầu tư và lý thuyết kinh tế phát triển- mà công trình nghiên cứu của giáo sư đã có nhiều ảnh hưởng lớn và có nhiều đóng góp sâu rộng. Ngoài những dòng nghiên cứu này, giáo sư Haavelmo còn có những đóng góp quý giá trong nhiều lĩnh vực khác, từ những phân tích về dao động kinh tế vĩ mô và chính sách tài khóa cho đến lý thuyết giá cả và lịch sử tư tưởng kinh tế.

Các ấn phẩm lớn:

Nghiên cứu có ảnh hưởng lớn nhất của giáo sư Haavelmo là luận án tiến sĩ của ông có tựa đề phương pháp xác suất trong toán kinh tế, được trình bày tại đại học Havard tháng 4 năm 1941. Luận chứng của ông sau đó đã được mở rộng và minh họa trong nhiều ấn phẩm, trong số chúng có thể đề cập đến hai bài nghiên cứu được đăng trên tạp chí toán kinh tế “ứng dụng thống kê của một hệ phương trình đồng thời và phân tích thống kê về cầu thức ăn năm 1947 đồng tác giả với giáo sư M.A. Girshick

Những nghiên cứu đầu của giáo sư Haavelmo về lý thuyết kinh tế phát triển được tổng kết trong cuốn sách của ông có tựa đề một nghiên cứu về lý thuyết cách mạng kinh tế (1954). Một bản tóm tắt tương ứng những đóng góp của Haavelmo cho lý thuyết đầu tư được trình bày trong một nghiên cứu về lý thuyết đầu tư.

Ngọc Hân (dịch)

Nguồn:

Giải Nobel kinh tế 1989: Lý thuyết xác suất trong kinh tế lượng, phân tích về cấu trúc kinh tế mô phỏng – Trygve Haavelmo

1257 Lượt xem · 0 Trả lời

Chương trình hợp tác đặc biệt giữa Diễn đàn Toán học và thầy Trần Nam Dũng

03-12-2015

Gửi bởi Nesbit trong Kinh nghiệm học toán

Nếu là một thành viên lâu năm của diễn đàn, chắc hẳn không ai xa lạ với TS. Trần Nam Dũng (namdung), một trong những “Hiệp sĩ” có công đóng góp to lớn trong quá trình phát triển của diễn đàn, và cũng là một trong những đầu tàu cho các lứa HSG Quốc tế. Ngay sau khi đăng tải thông tin về khóa học của thầy Nam Dũng theo phương pháp Hàm thụ 2.0, BQT diễn đàn đã nhận được nhiều phản hồi tích cực về khóa học cũng như hiệu quả của phương pháp, tuy nhiên phần lớn các bạn đều đang lo ngại về vấn đề học phí. Thấu hiểu điều này, BQT VMF đã thảo luận và đi đến thống nhất cùng thầy Nam Dũng trao tặng 10 suất học bổng đặc biệt chỉ dành riêng cho thành viên VMF lên đến 50% học phí toàn bộ khóa học. Đồng thời cũng là thể hiện mong muốn và nguyện vọng của thầy Nam Dũng đề cao thái độ học tập chủ động trong cộng đồng.

Vậy nên, bạn nào thật sự muốn theo đuổi con đường chuyên Toán và xây dựng nền tảng toán học vững chắc cho mình thì hãy đăng kí vào topic này. Nếu có trên 10 người đăng kí thì BQT sẽ chọn ra 10 bạn xứng đáng nhất dựa trên đóng góp cho diễn đàn.

Suất học bổng đặc biệt này áp dụng cho tất cả các hình thức thanh toán của khóa học (theo tháng hoặc trọn khóa).

Lưu ý:

Học bổng chỉ dành riêng cho thành viên VMF.
Học bổng chỉ được sử dụng một lần duy nhất.
Học bổng chỉ có hiệu lực đến ngày 30/12/2015.

Hướng dẫn cách nhận được học bổng:

B1: Đăng kí nhận học bổng trong chủ đề này
B2: Nếu được xét, một đường link sẽ được BQT gửi qua tin nhắn để đăng kí nhận mã học bổng
B3: Truy cập vào link khóa học tại http://bit.ly/hocbonghamthu
B4: Chọn mua khóa học để vào nơi nhập học bổng
B5: Nhập mã học bổng và tiếp tục thanh toán theo hướng dẫn.

1802 Lượt xem · 29 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi NTHMyDream )

Tuyển tập Bộ 3 câu phân loại trong các đề thi thử THPT Quốc gia 2015 môn toán

30-11-2015

Gửi bởi E. Galois trong Thi TS ĐH

Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán để xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại. Bộ ba câu này thường rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng, Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.

Nhằm mục đích cung cấp thêm cho các bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016 một tài liệu tham khảo hữu ích, các thành viên của Diễn đàn toán học VMF đã cùng nhau biên soạn tài liệu này. Tài liệu bố cục gồm ba phần chính. Phần đầu, chúng tôi tóm tắt một vài lý thuyết cơ bản tương ứng với 3 chủ đề đã nói ở trên để bạn đọc có thể tra cứu dễ dàng khi cần thiết. Phần hai, cũng là nội dung chính của tài liệu, chúng tôi tổng hợp lại bộ ba câu phân loại trong các đề thi thử năm học 2014 - 2015. Phần hướng dẫn, đáp số chúng tôi chủ yếu dựa trên đáp án của đơn vị ra đề, tuy nhiên trong một số bài toán chúng tôi có đưa ra cách tiếp cận khác hoặc chỉ hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động hơn trong quá trình đọc tài liệu. Chúng tôi nhấn mạnh rằng, cách làm trong tài liệu này chưa hẳn là tốt nhất, bạn đọc cũng không nên quá coi trọng các lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên.

Nhóm biên soạn tài liệu này gồm có

Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP. HCM (Katyusha);
Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99);
Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng);
Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13);
Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois);
Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp);
Bạn Trần Trung Kiên - TP. HCM (Ispectorgadget).

Mặc dù chúng tôi đã cùng nhau biên soạn tài liệu này với tất cả sự tận tâm, tinh thần vì cộng đồng vô tư. Nhưng sự tỉ mỉ và cố gắng của chúng tôi chắc chắn chưa thể kiểm soát được hết các sai sót. Vì vậy sự nhiệt tâm từ phía bạn đọc cũng sẽ giúp tài liệu hoàn thiện hơn. Mọi trao đổi hãy chia sẻ với chúng tôi tại Diễn đàn toán học VMF (http://diendantoanhoc.net).

Sau cùng, chúng tôi hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến sẽ dành cho chúng tôi sự tôn trọng tối thiểu bằng cách ghi rõ nguồn tài liệu khi chia sẻ. Không dùng tài liệu này để trục lợi cá nhân. Chúng tôi xin cảm ơn!

Nhóm biên tập

Download:

1) [attachment=25371:3cauvmf.pdf]

2) 3cauvmf2.pdf 1.79MB 3175 Số lần tải (Bản update sửa lỗi ngày 2/12/2015)

5227 Lượt xem · 29 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi vo van duc )

Lượng giác nói về cái gì?

19-11-2015

Gửi bởi hoangtrong2305 trong Toán học lý thú

Benny là một độc giả của IntMath Newsletter. Gần đây, ông đã viết:

“Tôi sẽ đến một trường cao đẳng cộng đồng và sẽ học về lượng giác ở học kỳ tiếp theo. Vì vậy, tôi muốn có cái nhìn sơ nét về những gì tôi sắp học.”

Vâng, Benny, bạn đã thực hiện một bước khởi đầu tốt bằng cách tìm hiểu những gì bạn sắp học trước khi học kỳ bắt đầu. Nhiều học sinh không tìm hiểu về những gì họ đang học cho đến khi họ phải làm các bài tập đầu tiên, khi đó, họ bắt đầu “rối tung” trong việc tìm hiểu cũng như để bắt kịp với phần còn lại của học kỳ.

Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác". Vì vậy, khi học về lượng giác, bạn sẽ vẽ và nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt là tam giác vuông.

I. SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC

Chúng ta hãy xem xét một số ứng dụng của lượng giác trong cuộc sống hằng ngày.

Hôm nay, có thể bạn sẽ lái xe qua 1 cây cầu. Cây cầu được xây dựng bằng cách sử dụng các kiến thức về lực tác dụng ở những góc khác nhau. Bạn sẽ nhận thấy rằng cây cầu gồm nhiều hình tam giác - lượng giác đã được sử dụng khi thiết kế độ dài và độ vững chắc của những hình tam giác đó.

Xe của bạn (hoặc điện thoại) có thể có cài đặt GPS (Global Positioning System - hệ thống định vị trên mặt đất), sử dụng lượng giác cho bạn biết chính xác bạn đang ở đâu trên bề mặt Trái Đất. GPS sử dụng các dữ liệu từ nhiều vệ tinh và các kiến thức về hình học trái đất, sau đó sử dụng lượng giác để xác định vĩ độ và kinh độ của bạn.

Hôm nay, có thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài hát bạn nghe được ghi âm kỹ thuật số (một quá trình sử dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác) được nén thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm dữ liệu (áp dụng kiến thức về khả năng phân biệt âm thanh của tai của con người), phép nén này đòi hỏi các kiến thức về lượng giác.

Trên đường đến trường, bạn sẽ vượt qua một tòa nhà cao tầng. Trước khi xây dựng, các kỹ sư sử dụng máy trắc địa để đo đạc khu vực. Sau đó, họ sử dụng phần mềm mô phỏng 3D để thiết kế xây dựng, và xác định góc ánh sáng mặt trời và hướng gió nhằm tính toán nơi đặt các tấm năng lượng mặt trời cũng như hiệu suất năng lượng cao nhất về. Tất cả các quá trình này đòi hỏi sự am hiểu về lượng giác.

Máy trắc địa

Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến những gì bạn có thể làm vào những thời điểm khác nhau trong ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản cho ngư dân là những dự đoán về thủy triều năm trước. Những dự báo này được thực hiện bằng cách sử dụng lượng giác. Thủy triều là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu kỳ này thường mag tính tương đối.

Trong thực tế, lượng giác có vai trò quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

II. NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC?

Bạn thường bắt đầu nghiên cứu về lượng giác bằng cách tìm hiểu hình tam giác được sử dụng để đo lường những điều khó đo lường bằng tay như thế nào. Ví dụ, chiều cao của núi và cây có thể được xác định bằng cách sử dụng các hình tam giác tương ứng. Tôi có thể dễ dàng đo độ dài $AB$ và $AC$ trong tam giác $ABC$ (viết $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }ABC$). Sau đó, ta dùng số liệu này để tìm chiều cao $DE$. Tôi có thể làm một quá trình tương tự để tìm chiều cao của ngọn núi.

Điều gì xảy ra nếu các góc trong tam giác khác nhau? “Lượng giác” cho phép chúng ta sử dụng các tỷ lệ có liên quan đến bất kỳ góc nào trong $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }ABC$, vì vậy chúng tôi có thể tính toán một loạt các đỉnh cao mà không cần phải tiến hành đo.

Bạn sẽ tìm hiểu về ba tỷ lệ quan trọng đối với bất kỳ góc độ: sine (có thể được rút gọn là sin), cosine (có thể được rút gọn là cos) và tangent (có thể được rút gọn là tan). Tôi khuyến khích bạn nên tìm hiểu về 3 tỉ lệ này một cách rõ ràng vì phần lớn kiến thức lượng giác sử dụng chúng rất nhiều.

Thông thường chúng ta đo góc bằng độ (°), nhưng đơn vị này không hữu ích lắm cho khoa học và kỹ thuật. Bạn cũng sẽ tìm hiểu về radian, đó là đơn vị đo thay thế cho đơn vị đo góc hữu ích hơn .

Sau khi bạn đã nắm vững những điều cơ bản, bạn sẽ đi tiếp để tìm hiểu về đồ thị của hàm số lượng giác (suy nghĩ về các đường gợn sóng bạn sẽ nhìn thấy trên một đồ thị động đất hoặc một hình trái tim) và sau đó phân tích lượng giác, cho bạn một tập các phương pháp để giải quyết các vấn đề phức tạp một cách dễ dàng hơn.

ECG của một bệnh nhân 26 tuổi.

III. LỜI KHUYÊN CHO VIỆC HỌC LƯỢNG GIÁC

a. Vẽ thật nhiều: Vẽ chắc chắn sẽ giúp bạn có sự hiểu biết về lượng giác. Khi bạn cần phải giải quyết vấn đề sau này, việc vẽ đồ thị thực sự có giá trị khi bạn có thể phác thảo các vấn đề một cách nhanh chóng và chính xác. Đặc biệt:

Vẽ hình tam giác mà bạn đang theo học.
Phác họa tình huống trong những vấn đề xung quanh.
Thực hành vẽ đồ thị hàm sin và cosin cho đến khi bạn có thể làm điều đó mà không cần phải chấm hàng triệu điểm trên trang giấy.

b. Học các kiến thức cơ bản thật chắc: Kiến thức “cơ bản” là:

Các định nghĩa của sin, cos và tan và làm thế nào để sử dụng chúng trong tam giác;
Dấu tỷ lệ lượng giác của các góc lớn hơn ${{90}^{o}}$ (tức là biết khi nào giá trị đó là dương hay âm)
Các đồ thị hàm $y=\sin \left( x \right)~$và $y=\cos \left( x \right)$ (và các khái niệm về hàm tuần hoàn)

c. Cẩn thận khi dùng máy tính: Các vấn đề thường gặp nhất khi sử dụng máy tính cầm tay trong lượng giác bao gồm:

Thiết lập sai chế độ (ví dụ như máy tính ở chế độ “độ” khi bạn đang tính toán trong chế độ radian)
Tin tưởng vào máy tính hơn não của bạn. Các máy tính sẽ không luôn luôn cung cấp cho bạn dấu chính xác (+ hoặc -). Thường thì bạn phải tự tìm hiểu.
Luôn ước lượng câu trả lời của bạn, đầu tiên, do đó bạn có thể kiểm tra kết quả mà máy tính cho bạn.
Hãy chắc chắn rằng bạn biết lý do tại sao máy tính của bạn không sử dụng “${{\sin }^{-1}}~$” hoặc “${{\cos }^{-1}}~$”. Điều này nhiều học sinh hay lẫn lộn và sử dụng các ký hiện trên không thật sự cần thiết. Chúng ta nên sử dụng $\arcsin \theta $ để không bị nhầm lẫn với $\frac{1}{\sin \theta }$.

Đây là câu trả lời của tôi dành cho Benny. Tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn ý tưởng về cách sử dụng kiến thức lượng giác, Đáng buồn thay, nhiều học sinh không mấy thích lượng giác. Bạn sẽ không cảm thấy sợ hãi nữa khi bạn hiểu lượng giác dùng vào việc gì cũng như thực hiện các lời khuyên trên.

Nguồn: http://www.intmath.c...-all-about-6163

Người dịch: Chuyên san EXP.

2082 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi lamtraumvn )

Thứ Sáu ngày 13 dưới góc nhìn toán học và văn hóa

13-11-2015

Gửi bởi Ban Biên Tập trong Toán học lý thú

Ở một số nước phương Tây, người ta cho rằng thứ sáu ngày 13 là ngày rủi ro. Tuy nhiên, báo Le Figaro (Pháp) số ra ngày 11-3-2009 cho biết số người mua lô tô tại Pháp vào thứ sáu ngày 13 cao gấp 3 lần so với những ngày khác.

Vậy thứ sáu ngày 13 có đặc điểm gì về mặt toán học và văn hóa? Nó là ngày tốt hay xấu?
Bằng lý thuyết đồng dư, toán học chứng minh được một năm bất kỳ có ít nhất một thứ sáu ngày 13 và nhiều nhất ba thứ sáu ngày 13. Hơn nữa, một năm có ba thứ sáu ngày 13 khi và chỉ khi ngày đầu năm là thứ năm (đối với năm không nhuận) hoặc chủ nhật (đối với năm nhuận). Đó là trường hợp của năm 2009: có ba thứ sáu ngày 13 rơi vào tháng hai, tháng ba và tháng mười một. Sự kiện này đã xảy ra vào năm 1998 và sẽ lặp lại vào các năm 2015, 2026.

Năm 2010 và 2011 chỉ có một thứ sáu ngày 13 mỗi năm. Năm 2012 có ba thứ sáu ngày 13 rơi vào tháng giêng, tháng tư và tháng bảy. Bộ ba “giêng, tư, bảy” này ít gặp hơn so với bộ ba “hai, ba, mười một”. Năm 2013 có hai thứ sáu ngày 13 rơi vào tháng 9 và tháng 12. Tổng cộng có 21 thứ sáu ngày 13 từ 2009 - 2019.

Cũng bằng toán học, ta tính được khoảng cách giữa hai ngày thứ sáu 13 gần nhất chỉ có thể là 27, 90, 181, 244, 272, 335 hoặc 426 ngày. Như vậy, hai thứ sáu ngày 13 gần nhất có thể cách nhau hơn một năm. Đó chính là trường hợp 13-8-1999 và 13-10-2000.

Theo Kinh Thánh, Chúa Jésus bị đóng đinh trên thập tự giá vào thứ sáu. Hơn nữa, bữa ăn cuối cùng của Chúa với các môn đồ có đúng 13 người. Việc này thường được xem là nguồn gốc việc kiêng sợ thứ sáu ngày 13.

Kiệt tác Bữa tiệc cuối cùng của Léonardo da Vinci

Ở Ý, số 17 được gắn với sự rủi ro chứ không phải số 13. Còn ở Trung Quốc, con số này là 4 vì được phát âm gần giống với “tử” nghĩa là chết. Ở châu Mỹ Latin, ngày kiêng cữ lại là thứ ba 13.

Về mặt thống kê, hiện chưa có dữ liệu đáng tin cậy nào để gán cho thứ sáu ngày 13 với “may mắn” hay “rủi ro” theo một nghĩa nào đó. Chẳng hạn, xác suất trúng lô tô ở Pháp vào thứ sáu ngày 13 cũng giống với những ngày khác và xấp xỉ với 1/14.000.000. Xác suất nhỏ bé này không có nghĩa là bạn không thể trúng lô tô và không hề ngăn cản người chơi lô tô nuôi hi vọng!

VMF

4283 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Element hero Neos )

Phương trình thời gian

13-11-2015

Gửi bởi hoangtrong2305 trong Toán học lý thú

Đầu tiên chúng ta hãy nghiên cứu các tính chất của những vật thể có quỹ đạo.

Trong đồ thị dưới đây, bóng cây màu xanh lá cây tượng trưng cho Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời (đỏ), là một tâm quỹ đạo hình elip. Đồ thị này được phóng đại rất nhiều vì thế bạn có thể xem những gì đang xảy ra.

Trong thực tế, quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời gần giống với hình tròn, nhưng bản chất vẫn là hình elip.

Nhiều người trong chúng ta không mấy để ý về sự chuyển động của Mặt Trời, Mặt Trăng hay các hành tinh, có lẽ hầu hết chúng ta sống ở những nơi ô nhiễm không khí và ô nhiễm ánh sáng nên chúng ta khó có thể nhìn thấy bầu trời.

Do đó, chúng ta giả định chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời là chuyển động đều, mất chính xác 24 giờ để Mặt Trời trở lại vị trí cũ mỗi ngày.

Nhưng thực tế không đơn giản vậy. Giữa vị trí của Mặt Trời đối với Trái Đất cùng thời điểm trong ngày có sự sai lệch tối đa 30 phút, diễn ra trong suốt cả năm. Cụ thể, Mặt Trời ở “phía sau” khoảng 14 phút 6 giây (khoảng ngày 12 tháng Hai hằng năm) và ở “phía trước” lên đến 16 phút 33 giây (khoảng ngày 3 tháng 11 hằng năm).

Đồng hồ Mặt Trời

Có 2 lí do để giải thích:

1. Trái Đất xoay quanh Mặt Trời theo một hình elip, chứ không phải một vòng tròn như chúng ta đã thấy ở trên. Điều này có nghĩa Trái Đất không quay quanh Mặt Trời với một tốc độ nhất định.

2. Trái Đất nghiêng 23.44 độ

Nếu Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một vòng tròn hoàn hảo và không có độ nghiêng, chúng ta sẽ thấy Mặt Trời lên cao trong cùng vị trí như vậy mỗi ngày.

Người Hy Lạp cổ đã viết về vấn đề này, nhưng vì họ không có đồng hồ chính xác nên họ không quá quan tâm đến.

Đến thế kỷ XVI với sự phát minh ra đồng hồ quả lắc, con người biết được chính xác Mặt Trời ở đâu vào thời điểm trong năm có vai trò quan trọng trong việc đi biển.

I. PHƯƠNG TRÌNH THỜI GIAN

Phương trình thời gian sử dụng 2 lý do trên và có thể cho chúng ta biết Mặt Trời ở phía trước hay phía sau Trái Đất và khoảng cách giữa chúng là bao xa.

Một hàm số có xấp xỉ tốt cho phương trình thời gian như sau, trong đó $d$ là ngày trong năm và kết quả hàm số là số phút sai lệch:

$$\text{Sự biến thiên thời gian}=-7.655\sin \left( d \right)~+9,873\sin \left( 2d~+~3.588 \right)$$

Phương trình này có 2 phần:

Sự biến thiên theo độ nghiêng của Trái Đất $=~-7.655\sin \left( d \right)$.

Biểu thức này làm tăng thêm 7.655 phút cho phương trình thời gian, chu kỳ là một năm (365.25 ngày).

Sở dĩ ta có điều trên là do ảnh hưởng của độ lệch tâm quỹ đạo. Vì vậy, ta phải điều chỉnh cho thời gian chính xác. Phương trình điều chỉnh thời gian là:

$$-7.665\sin \left( \frac{2\pi d}{365} \right)$$

Thành phần thứ hai:

$$\text{Biến thiên do quỹ đạo hình elip} =~9.873\sin \left( 2d~+~3.588 \right)$$

Biểu thức này làm tăng thêm 9.873 phút vào sự thay đổi vị trí Mặt Trời, có chu kỳ khoảng nửa năm.

Điều này xảy ra do ảnh hưởng của độ lệch tâm quỹ đạo. Một lần nữa, ta phải điều chỉnh cho thời gian chính xác. Phương trình chính xác hơn là:

$$9.873\sin \left( \frac{4\pi d}{365}+3.588 \right)$$

Khi hai thành phần kết hợp với nhau, ta có:

$$\text{Sự biến thiên thời gian}~=~-7.655\sin \left( d \right)~+9,873\sin \left( 2d~+~3.588 \right)$$

Khi chúng ta vẽ đồ thị hàm lượng giác này, chúng ta có đường cong lượng giác đa hợp.

Bạn có thể tìm hiểu thêm về phương trinh thời gian tại https://en.wikipedia...quation_of_time

II. KẾT LUẬN

Phương trình thời gian là một ứng dụng thực tế rất rõ ràng của đường conic (elip) và đường cong lượng giác đa hợp.

Nguồn: http://www.intmath.c...on-of-time-5039

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

1591 Lượt xem · 0 Trả lời

Cây gậy của Jacob

12-11-2015

Gửi bởi hoangtrong2305 trong Toán học lý thú

Dạo gần đây, tôi bất chợt tìm ra một phần thú vị trong lịch sử lượng giác.

Cây gậy của Jacob được phát minh vào thế kỷ 13, dùng để tính chiều cao và khoảng cách. Mãi cho đến thế kỷ 15, nhà khoa học người Đức Johannes Mueller mới phổ biến công cụ này.

Thời kỳ đó, những người Châu Âu bắt đầu những khám phá vượt ra khỏi biển Địa Trung Hải. Họ cần những công cụ định vị tốt hơn để xác định chính xác tọa độ của họ cũng như không chạy vào chỗ có quá nhiều đá.

Cây gậy của Jacob có hình dạng giống như một cái ná. Nó có một thanh chính với một thang tỉ lệ và một vài thanh bắt ngang dùng để xác định góc từ chiều ngang nhìn lên (góc nâng), hoặc góc giữa hai đối tượng.

Cây gậy của Jacob

Chúng ta cần sử dụng một nửa các góc hay một nửa các khoảng cách khi đo với công cụ này.

“Tang của nửa góc cần đo được tính bằng cách lấy một nửa độ dài của thanh thước ngang trừ đi độ dài của thanh thước chính chia cho khoảng cách từ mắt đến thanh thước ngang.”

Ôi thật dài dòng! Ta hãy xem ví dụ sau:

Nếu chúng ta biết chiều cao của một ngọn tháp là $h$, và số đo góc khi sử dụng cây gậy của Jacob là $\theta $, khi đó ta được một xấp xỉ tốt cho khoảng cách đến ngọn tháp:

$$d\approx \frac{h}{2}\cot \left( \frac{\theta }{2} \right)$$

Đây là một hướng dẫn chi tiết từ bản in trên khối gỗ bởi Peter Apian vào năm 1523, chỉ cho con người cách đo chiều cao của tòa tháp bằng cách sử dụng cây gậy của Jacob.

Bạn có thể tìm hiểu thêm về cây gậy của Jacob và ví dụ liên quan đến việc tìm chiều cao khi bạn biết khoảng cách đến một đối tượng trong bản dịch tiếng Đức của Wikipedia: Jakobsstab (Xem tại https://de.wikipedia...wiki/Jakobsstab. Bạn có thể sử dụng Google dịch cho ngôn ngữ riêng của bạn).

Dưới đây là một bản in đầy đủ trên khối gỗ của Peter Apian. Chúng ta có thể nhìn thấy mọi người đang đo chiều cao và khoảng cách thiên văn. Lưu ý rằng Trái Đất có dạng hình cầu, khái niệm này khi đó vẫn bị từ chối bởi nhiều người trong xã hội.

Những giáo viên toán học có thể thiết kế một bài thực hành thú vị dựa trên cây gậy của Jacob bằng cách đưa cho học sinh làm một vài cây gậy và sau đó sử dụng chúng để đo. Cách dạy này sẽ giúp học sinh vừa biết lịch sử, vừa học toán.

Nguồn: http://www.intmath.c...cobs-staff-7755

Người dịch: Huỳnh Ngọc Giàu - Thành viên Chuyên san EXP.